高校時代の入学試験二次対策だったのか、大学一年の基礎数学だったか覚えてないのですが、次のような問題に頭を悩ませたことがあります。

問：次の文章が正しいか証明せよ

\( a^n \neq 1 \)　ならば　\( a \neq 1 \)　である

（これ以降、がっつり数学の話題が続きます。興味のない方は見ない方が精神衛生上よろしいのかと思われます。
うん、無性に書きたかったんだモンｗしょうがないじゃんかｗｗ）

たしか、\( a^n – 1 \neq 0 \)　と変形して、さらに

$$
a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a^2+a+1) \tag{1}
$$

として、\( a=1 \)の時、式（１）の前半のカッコがゼロになることにより、\( a^n-1 \neq 0\)と矛盾するため、\( a=1 \)としたのが間違いだから、\( a \neq 1 \)である。
なので、問は正しい。。。。

とかなんとか、こんな感じで証明した記憶があるのですが（ひと昔の前のため正しいのか微妙ですが・・・ｗ）

で、論理学の入門書を読んでたら、この問、対偶を取れば、楽に証明できると走り書きされてたので、やってみたら、これまた本当に簡単だったのでびっくり。

ということで、対偶を取ってみる。

命題：\( a^n \neq 1 \)　ならば　\( a \neq 1 \)　である　（\( p\rightarrow q \)）

対偶：\( a\neq 1 \)でない　ならば　\( a^n \neq 1 \)でない　（\( \overline {q}\rightarrow \overline {p} \)）

もう少しわかりやすくすると、\( a\neq 1 \)でない　というのは、\( a=1 \)　のこと、
\( a^n \neq 1 \)でない　は\( a^n=1 \)　ということ。なので、対偶は次のように書ける。

対偶：\( a=1 \)　ならば　\( a^n=1 \)　である　（\( \overline {q}\rightarrow \overline {p} \)）

はい、みてすぐわかるように命題は真であることがわかりましたね！すばらすぃぃ・・・

ぇ？何言ってるのかまったくわからない？日本語かって？
いえ、数学語です（キッパリｗ
ごく一部の、選りすぐられた変人たちにのみ共感できる言葉です（誉め言葉ｗ