昔解いたことがある問題なんだけど

投稿者:arrumis

高校時代の入学試験二次対策だったのか、大学一年の基礎数学だったか覚えてないのですが、次のような問題に頭を悩ませたことがあります。

問:次の文章が正しいか証明せよ

\( a^n \neq 1 \) ならば \( a \neq 1 \) である

(これ以降、がっつり数学の話題が続きます。興味のない方は見ない方が精神衛生上よろしいのかと思われます。
うん、無性に書きたかったんだモンwしょうがないじゃんかww)

たしか、\( a^n – 1 \neq 0 \) と変形して、さらに

$$
a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\dots+a^2+a+1) \tag{1}
$$

として、\( a=1 \)の時、式(1)の前半のカッコがゼロになることにより、\( a^n-1 \neq 0\)と矛盾するため、\( a=1 \)としたのが間違いだから、\( a \neq 1 \)である。
なので、問は正しい。。。。

とかなんとか、こんな感じで証明した記憶があるのですが(ひと昔の前のため正しいのか微妙ですが・・・w)

 

で、論理学の入門書を読んでたら、この問、対偶を取れば、楽に証明できると走り書きされてたので、やってみたら、これまた本当に簡単だったのでびっくり。

ということで、対偶を取ってみる。

命題:\( a^n \neq 1 \) ならば \( a \neq 1 \) である (\( p\rightarrow q \))

対偶:\( a\neq 1 \)でない ならば \( a^n \neq 1 \)でない (\( \overline {q}\rightarrow \overline {p} \))

もう少しわかりやすくすると、\( a\neq 1 \)でない というのは、\( a=1 \) のこと、
\( a^n \neq 1 \)でない は\( a^n=1 \) ということ。なので、対偶は次のように書ける。

対偶:\( a=1 \) ならば \( a^n=1 \) である (\( \overline {q}\rightarrow \overline {p} \))

はい、みてすぐわかるように命題は真であることがわかりましたね!すばらすぃぃ・・・

 

ぇ?何言ってるのかまったくわからない?日本語かって?
いえ、数学語です(キッパリw
ごく一部の、選りすぐられた変人たちにのみ共感できる言葉です(誉め言葉w

 

徒然なる日記|2017年3月8日|9:19 PM|コメント(2)			



“昔解いたことがある問題なんだけど” への2件のフィードバック

  1. 神田 より:

    お久しぶり❕
    まさに今日生徒に教えました(笑)

    • arrumis より:

      >神田
      おひさしぶり!
      何と言うタイムリーな(笑)これが初めて教わってる時は、凄いなー、ではなくて、めんどくさいなー、なんだよね。生徒の皆が楽しさに気がついてくれたら嬉しいなぁ。と遠くから眺めておきます(笑)

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